Задачі на побудову

Як вписати трикутник в коло

Якщо всі вершини трикутника лежать на одному колі, то в цьому випадку він називається вписаним, а коло, відповідно - описаним навколо нього. Побудувати трикутник на відомому колі дуже просто, але як вписати трикутник в коло, якщо спочатку існує саме він?

                                             Вам знадобиться

                              - циркуль;  папір; олівець; лінійка.

                                                Інструкція

       1 крок

·        Для будь-якого трикутника завжди можливо побудувати описане коло, оскільки ця крива однозначно визначається трьома заданими точками.

·        Щоб це виявити, достатньо припустити, що трикутник заданий декартовими координатами своїх вершин. В цьому випадку радіус і координати центру кола, що проходить через всі три точки, повинні бути рішеннями системи з трьох рівнянь другого ступеня з трьома невідомими.

·        Ця система буде мати єдине рішення в тому випадку, якщо задані точки не лежать на одній прямій (у цьому останньому випадку вона зовсім не має рішень). Але три точки, що лежать на одній прямій, не можуть бути вершинами трикутника, отже, цей випадок можна навіть не розглядати. Отже, рішення завідомо існує.

       2 крок

·        Щоб трикутник був вписаний в коло, очевидно, потрібно, щоб її центр знаходився на рівній відстані від всіх трьох його вершин.

·        Задача, таким чином, зводиться до знаходження центру описаного кола.

       3 крок

·        Сторона вписаного трикутника буде хордою описаного кола. Для будь-якої такої хорди існує перпендикулярний до неї радіус, причому точка їх перетину ділить хорду рівно навпіл.

·        Отже, будь-серединний перпендикуляр трикутника (тобто пряма, що проходить через середину його боку і перпендикулярна їй) проходить через центр описаного кола. Досить провести два таких перпендикуляра, і точка їх перетину буде центром. Радіус же описаного кола однозначно визначається відстанню до будь-якої з вершин.

  4 крок

·        Процедура розподілу відрізка навпіл циркулем і лінійкою являє собою, по суті, побудова серединного перпендикуляра. Таким чином, завдання знаходження центру описаного кола зводиться до поділу циркулем і лінійкою двох сторін трикутника.

  5 крок

·        Якщо заданий трикутник - прямокутний, то центр описаного кола співпадає з серединою його гіпотенузи.